Задание №38538 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть на доске были написаны числа 1, 8 и 4, из которых получили числа 13, 87 и 4. При этом Значит, сумма увеличилась в 8 раз.

б) Пусть в первой группе было m чисел, а их сумма равнялась A, во второй группе было n чисел, а их сумма равнялась B, а сумма чисел в третьей группе равнялась C. Тогда сумма чисел была равна а стала
Предположим, что сумма увеличилась в 17 раз. Тогда получаем:

Это невозможно, поскольку 

в) Рассмотрим отношение Q получившейся суммы чисел и изначальной:

Если перенести одно число из первой или третьей группы во вторую, то не изменится, а увеличится. Значит, отношение Q будет наибольшим, если в первой и третьей группах находится по одному числу. Поэтому будем считать, что а общее количество чисел равно Поскольку числа различные, получаем  Кроме того,  Значит,

Найдём, при каком значении n выражение  принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность

Значит,  при  и при  Таким образом, f(n) принимает наибольшее значение при Следовательно, 
Покажем, что отношение Q могло равняться Пусть было написано шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых получили числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким образом, 

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 

Источник: Сборник И.В. Ященко