- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 77302
Задание №77302 ЕГЭ по Математике (профиль)
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел уменьшилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Решение:
а) Да, может, например, если взять 19 чисел "10", а 20-е число - 50, то после увеличения 20-го числа на 1 получаем 51, которое стирается с доски, т. е чисел становится 19.
Первоначальное среднее арифметическое:
Среднее арифметическое после изменений:
Таким образом мы видим, что среднее арифметическое уменьшилось.
б) Пусть количество чисел 50 равно 
тогда сумма их 
Остальные 
чисел обозначим 
и еще одно число 
Их среднее арифметическое равно:
После увеличения на 1 и стирания 51 с доски среднее арифметическое равно:
Получаем систему:
Вычтем из 1-го уравнение 2:
- что невозможно.
в) Чтобы получить наименьшее среднее арифметическое на доске, изначально нужно записать набор чисел, состоящий из наибольшего количества числа 50 (которые будут стерты после увеличения на 1), а остальные числа должны быть минимальными
(
- количество 50; 
- 20-е число).
Получаем:
из этого получаем, что наибольшее 
при 
Получаем последовательность: 
Среднее арифметическое: 
После стирания 51: 
Ответ: а) да б) нет в) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)