Задание №38474 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Нет, не может.
Обозначим 11 различных натуральных чисел как:

По условию среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
Наибольшее из чисел возьмём наибольшие возможные значения для семи наибольших чисел:







Найдём их среднее арифметическое:

Тогда наибольшее возможное среднее арифметическое семи наибольших чисел, при равно 13, но значит не может быть равно 16.

б) Нет, не может.
Среднее арифметическое 6 наименьших чисел рано 8, найдём их сумму:


Среднее арифметическое 7 наибольших чисел равно 14, найдём их сумму:


Сложив две эти суммы получим:

В каждой сумме повторяется зная это, выразим сумму всех 11 чисел:

С другой стороны по условию, среднее арифметическое всех 11 чисел должно равняется 10, найдём их сумму:


Можем найти, чему равна сумма 



Минимально возможное значение  будет в следующем случае:



Тогда минимально возможные последние 7 чисел равны:







Найдем их среднее арифметическое:

Но по условию их среднее арифметическое должно быть 14, это меньше, чем наименьшее возможное среднее арифметическое 20,9. Значит, среднее арифметическое всех 11 чисел не может равняется 10.

в) Из пункта 6), знаем, что сумма 11 чисел равна
Тогда среднее арифметическое равно
Что бы оно было наименьшим, вычитаемая сумма должна быть наибольшей.
Из пункта а), знаем, что если то среднее арифметическое 7 наибольших чисел, чуть меньше того, что в условии
Пусть тогда наибольшие значения и  будут в следующем случае:







Проверим равно ли теперь их среднее арифметическое 14:
- верно.
Зная значения аз и ас подберём значения 6 наименьших чисел, так, что бы их среднее арифметическое было равно 8 (по условию), а следовательно, сумма 48 (пункт 6):






Найдём наименьшее значение среднего арифметического всех 11 чисел:

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) 

Источник: Сборник И.В. Ященко