Задание №38441 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Да, например, можно взять числа и В сумме они дают число

б) Известно, что если число кратно 3, то сумма его цифр также кратна 3. Следовательно, если второе натуральное число b равно сумме цифр первого натурального числа a, то для них должно выполняться равенство:

где - операция вычисления целого остатка от деления.
Аналогично и для третьего натурального числа

Из последней системы следует, что сумма натуральных чисел должна быть кратна Но число не кратно Следовательно, сумма чисел не может составлять

в) Сумма цифр любого трехзначного натурального числа не более  Сумма цифр второго натурального числа должна быть равна и не превышать число Таких чисел два: и (число выбирать нельзя, т. к. все числа на доске различны, а - это третье число).
Теперь нам нужно найти количество трехзначных натуральных чисел:

- сумма цифр которых равна  (всего ):
149 158 167 176 185 194 239 248 257 266 275 284 293 329 338 347 356 365 374 383 392 419 428 437 446 455 464 473 482 491 509 518 527 536 545 554 563 572 581 590 608 617 626 635 644 653 662 671 680 707 716 725 734 743 752 761 770 806 815 824 833 842 851 860 905 914 923 932 941 950.

- сумма цифр которых равна 23 (всего 15):
99 689 698 779 788 797 869 878 887 896 959 968 977 986 995.

Итого, искомое число троек:

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 85

Источник: Сборник И.В. Ященко