- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 16446
Задание №16446 ЕГЭ по Математике (профиль)
Тема : Числовые наборы на карточках/досках
Раздел: Задачи на теорию чисел
На доске написаны числа 6 и 7. За один ход можно получить числа 
и 
или числа 
и 
(например, из чисел 6 и 7 можно получить числа 13 и 11 или 13 и 13).
и или числа и (например, из чисел 6 и 7 можно получить числа 13 и 11 или 13 и 13).а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 49.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 205?
в) Сделали 1009 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Решение:
а) Например, (6;7), (13;13), (26;25), (51;49).
а) Например, (6;7), (13;13), (26;25), (51;49).
б) Заметим, что минимальное возможное число после первого хода – 11, при дальнейших ходах минимальное возможное увеличение числа за один ход не меньше 2. Таким образом, минимальное возможное число после 100 ходов не меньше
что больше 205.в) Исходные числа 6 и 7 отличаются на 1 и имеют вид
и 
Из них можно получить равные числа 
что противоречит условию, или числа, отличающиеся на 2: 
Кроме того, если получать равные числа нельзя, после нечетного хода будет всегда получаться пара нечетных чисел, а после четного хода — четное и нечетное. Ход 1009 — нечетный, значит, после него получилось два нечетных числа. Минимальная возможная разность двух различных нечетных чисел равна 2. Покажем, что такую разницу получить возможно: (2; 3), (3; 5), (8; 9), (15; 17), (32; 33), ... или 
Тем самым, наименьшая разность, которую можно получить за 1009 ходов, равна 2.
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) (6;7), (13;13), (26;25), (51;49); б) нет; в) 2
Источник: NeoFamily