Решение:
а) Поскольку 52 делится на (52–51) и на (52–50), а 51 делится на (51–50), это невозможно.
б) Рассмотрим остатки от деления на 11. Всего разных остатков 11, поэтому среди 24 чисел найдутся два с одинаковыми остатками. Их разность будет кратна 11. Следовательно, нет, это невозможно.
в) Рассмотрим числа 75, 77, …, 219. Разностью любых двух из них четна, а все они нечетны, поэтому не могут делиться на разность. При этом максимальная разность равна 219 − 75 = 144 = 2 ∗ 72, значит, все разности имеют вид 2 , где n≤ 72. Поскольку все числа нечетны, 2 может делиться на них, только если n делится, но n меньше любого из них. В этом примере 73 числа.
Допустим, существует пример с 74 числами. Рассуждения пункта б показывают, что чисел, меньших 74, там быть не может, а рассуждения пункта а – что среди чисел не может быть соседних. Значит, из каждой пары (74,75), (76,77) …, (218,219) есть максимум одно число. Тогда чисел не более, чем количество пар, а их 73.
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в -
4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в -
3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен -
2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б -
1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше -
0 баллов
Ответ: а) нет, не могло; б) нет, не могло; в) 73
Источник: NeoFamily
