Решение:
а) Докажем, что все расставленные числа нечетные. Рассмотрим любое число из круга. Сумма трех чисел слева от него по условию не делится на 2, то есть нечетная. Сумма этих чисел и рассматриваемого числа делится на 4, то есть четна, следовательно, рассматриваемое число нечетно. Таким образом, можем получить, что все числа нечетные. Среди натуральных чисел, меньших 365, есть всего 182 различных нечетных числа, значит, в круге не могло быть 200 чисел.
б) Пусть по кругу могли быть расставлены 109 чисел. По предыдущему пункту все они должны быть нечетными. Нечетные числа при делении на 4 могут давать в остатке либо 1, либо 3. Рассмотрим любую четверку подряд идущих чисел. Сумма чисел в ней по условию должна делиться на 4, значит, сумма остатков этих чисел тоже должна делиться на 4. Это могло случиться только если в четверке были либо четыре числа с остатком 1, либо четыре числа с остатком 3, либо два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.
Пусть в четверке было четыре числа с одинаковыми остатками. Тогда рассмотрим следующую по кругу четверку, в которой есть три числа из предыдущей четверки и одно новое — соседнее. Сумма чисел в этой четверке тоже должна делиться на 4, значит, новое число тоже должно иметь такой же остаток, что и все остальные числа в этой четверке, иначе сумма не будет делиться на 4. Аналогичными рассуждениями можно получить, что все числа в круге должны иметь одинаковые остатки при делении на 4. Заметим, что среди натуральных чисел, меньших 365, есть всего 91 число с одним и тем же остатком при делении на 4. Получили противоречие. Значит, в четверке могли быть только два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.
Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 3, 1, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 3, 1, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться. Однако в круге всего 109 чисел, значит, где-то найдутся два одинаковых остатка рядом. Получили противоречие.
Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 1, 3, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 1, 3, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться по два, то есть идти в таком порядке:
...1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3...
Тогда в круге должно быть четное количество чисел, но в нем всего 109 чисел. Получили противоречие.
Значит, в круге не могло быть 109 чисел.
в) В пункте а) мы доказали, что чисел в круге не может быть более 182. Приведем пример на 182 числа. Расставим все нечетные числа от 1 до 363 по кругу в порядке возрастания (за исключением места …363, 1,…). Тогда сумма любых трех последовательных чисел не кратна 2, а сумма любых четырех последовательных чисел делится на 4.
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в), и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в) -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) нет; б) нет; в) 182
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
