Задание №63178 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Если на доске написаны два числа, идущие подряд, то любое число делится на их разность, равную 1. Если на доске написаны числа 18 и 20, то каждое из этих чисел делится на их разность, равную 2. Значит, никакие два из чисел 18, 19 и 20 не могли быть написаны на доске одновременно.
б) Если на доске написано 25 чисел, то хотя бы два из них дают одинаковые остатки при делении на 17. Значит, разность этих чисел делится на 17. Следовательно, N не может быть равным 25.
в) Предположим, что  Если на доске есть число  то хотя бы два из написанных на доске чисел дают одинаковые остатки при делении на a, но тогда их разность делится на a. Значит, каждое из чисел, написанных на доске, больше 33.
Среди любых  различных чисел от 34 до 99 найдутся два, идущих подряд. Разность этих чисел равна 1, и на неё делится любое число, написанное на доске. Получаем противоречие. Следовательно, 
Покажем, что N может быть равным 33. Пусть на доске написаны нечётные числа от 35 до 99:
35, 37, 39, ..., 95, 97, 99
Разность любых двух из этих чисел чётная, а значит, ни одно из написанных на доске чисел не делится на неё. С другой стороны, каждая из таких разностей не превосходит 64. Следовательно, любой нечётный делитель такой разности не превосходит 31. Таким образом, построенный пример удовлетворяет условию задачи.

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в), и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в) -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)