Задание №63174 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Свойства чисел

Раздел: Задачи на теорию чисел

18 (ЕГЭ 2023-2022) линия

Не выполнено

С натуральным трёхзначным числом проводят следующую операцию: из числа вычитают его сумму цифр, и полученный результат делят на 3.
а) Может ли результатом выполнения операции быть число 300?
б) Может ли результатом выполнения операции быть число 151?
в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трёхзначных чисел от 100 до 600?

Решение:
Любое трёхзначное число abc, можно представить в виде:
Формула
По условию производят следующую операцию, из числа вычитают сумму его цифр:

Затем к полученный результат делят на 3:

а) Да, может.

Например, если а = 9, b = 1, а с – любое:
Формула
Значит, исходное число было, например аbc = 910.
б) Нет, не может.

Левая часть уравнения делится на 3, а правая часть уравнения 151 не делится на 3 (т.к. не делится на 3). Значит результатом операции не может быть число 151.
в) Результат выполнения операции зависит от количества пар (a, b), а для всех трёхзначных чисел от 100 до 600 либо Формула (5 цифр), (10 цифр), либо a = 6, b = 0 (ещё 1 результат), то существует: результат операции.
Докажем, что все эти результаты будут различными.
Пусть помимо пары (a₁, b₁) нашлась пара (a₂, b₂), причём Формула а результаты операции равные:

Левая часть уравнения делится на 11, значит и правая часть уравнения b₂ – b₁ тоже делится на 11. Тогда значит b₁ = b₂, а значит и а₁ = а₂ иначе исходное равенство не будет выполнятся.
Получили противоречие с Формула