Решение:
а) Докажем, что все расставленные числа нечетные. Рассмотрим любое число из круга. Сумма трех чисел слева от него по условию не делится на 2, то есть нечетная. Сумма этих чисел и рассматриваемого числа должна делится на 4 по условию, то есть должна быть четной, следовательно, рассматриваемое число нечетно. Таким образом, можем получить, что все числа нечетные. Среди натуральных чисел, которые не больше 425, есть всего 213 различных нечетных числа, значит, в кругу не могло быть 280 различных натуральных чисел.
б) Пусть по кругу могли быть расставлены 149 чисел. По предыдущему пункту все они должны быть нечетными. Нечетные числа при делении на 4 могут давать в остатке либо 1, либо 3. Рассмотрим любую четверку подряд идущих чисел. Сумма чисел в ней по условию должна делится на 4, значит, сумма остатков этих чисел тоже должна делится на 4. Это могло случиться только если в четверке были либо четыре числа с остатком 1, либо четыре числа с остатком 3, либо два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.
Пусть в четверке было четыре числа с одинаковым остатком. Тогда рассмотрим следующую по кругу четверку, в которой есть три числа из предыдущей четверки и одно новое — соседнее. Сумма чисел в этой четверке тоже должна делится на 4, значит, новое число тоже должно иметь такой же остаток, что и все остальные числа в этой четверке, иначе сумма не будет делится на 4. Аналогичными рассуждениями можно получить, что все числа в кругу должны иметь одинаковый остаток при делении на 4. Заметим, что среди натуральных чисел, меньших 425, есть всего 106 различных числел с одним и тем же остатком при делении на 4, противоречие. Значит, в четверке могли быть только два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.
Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 3, 1, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 3, 1, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться, но в кругу всего 149 чисел, значит, где-то найдутся два одинаковых остатка рядом, противоречие.
Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 1, 3, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 1, 3, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться по два, то есть идти в таком порядке: …1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3 …Тогда в кругу должно быть четное количество чисел, но в нем всего 149 чисел, противоречие. Значит, в кругу не могло быть 149 чисел.
в) В пункте а) мы доказали, что чисел в кругу не может быть более 213. В пункте б) мы доказали, что в количество чисел должно быть четно, следовательно, чисел не может быть более 212. Приведем пример на 212 числа. Расставим все нечетные числа по кругу в порядке возрастания (за исключением места …423, 1,…) Тогда сумма любых трех последовательных чисел не кратна 2, а сумма любых четырех последовательных чисел делится на 4.
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в), и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в) -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) нет; б) нет; в) 212
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
