- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62476
Задание №62476 ЕГЭ по Математике (профиль)
Для чисел А и В, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили S – сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел А = 123 и В = 579 получается сумма 
а) Существуют ли трёхзначные числа А и В, для которых S = 100?
б) Существуют ли пятизначные числа А и В, для которых S = 400?
в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой дзя некоторых четырёхзначных чисел А и В?
Решение:
а) Например, 555 и 875.
б) Для чисел 
сумма равна 
Для любых других чисел одно из произведений будет не больше и сумма произведений будет не больше
в) Запишем число от 1 до 260 в виде 
где 
Тогда 
Если 
выберем две цифры s, t, для которых 
Тогда числа 
и 
дадут 
Если 
выберем две цифры s, t, для которых 
Тогда числа 
и 
дадут 
Пусть, наконец, 
Нам осталось записать в нужном виде числа от 253 до 260. Сделаем это:
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а) и в), либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б) и в) - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в), либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а) и б), пункт в) не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а), либо получен верный обоснованные ответ в пункте б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) да
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)