- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62479
Задание №62479 ЕГЭ по Математике (профиль)
Дана правильная положительная несократимая дробь 
За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель — на два числителя, то есть получить дробь 
а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 
получить дробь 
б) Можно ли из некоторой дроби за 3 хода получить дробь, равную 
в) Дробь 
меньше 
Найдите ее наибольшее значение, которое нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
Решение:
а) Да, можно:
б) Предположим, что это можно сделать. Если изначально была дробь 
то спустя два хода дробь стала:
Заметим, что при данных действиях несократимая дробь остается несократимой, так как по алгоритму Евклида
Значит, если дробь стала равна 
то это в точности дробь 
Тогда 
Поскольку a и b — натуральные числа, то второе равенство может быть верно, только если 
Однако, в таком случае 
Получим противоречие. Значит, дробь 
через 2 хода получиться не могла.
в) Из пункта б) известно, что если была дробь то спустя два хода дробь станет равна 
Тогда
Выразим a через c и d:
Заметим, что 
Тогда
Выразим b через c и d:
Заметим, что 
Тогда
Изначальная дробь 
должна быть правильной, поэтому
Тогда
Докажем, что все значения от 
до 
можно получить из правильной несократимой дроби. Понятно, что по дроби, которую мы хотим получить за два хода, можно восстановить начальную, так как 
Осталось проверить, что такая дробь правильная и несократимая. Она правильная, так как мы накладывали условия 
и 
ранее. Тогда осталось проверить то, что она несократима. Дробь мы будем восстанавливать по несократимой дроби 
поэтому 
Тогда по алгоритму Евклида
Значит, если 
— несократимая, то и — несократимая.
Таким образом, наибольшее значение, которое нельзя получить из правильной несократимой дроби за 2 хода, равно 
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а) и в), либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б) и в) - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в), либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а) и б), пункт в) не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а), либо получен верный обоснованные ответ в пункте б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)