Задание №62477 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Заметим, что при каждом действии сумма чисел увеличивается ровно на 1. Действительно:
Если было (A, B) и стало то сумма стала

Если было (A, B) и стало то сумма стала

Значит, за 20 ходов сумма увеличится на 20, то есть будет равна

Так как числа всегда остаются натуральными, то при такой сумме ни одно из чисел не может равняться 50.
б) Как было показано в пункте а), сумма чисел увеличивается на 1 после каждого хода. Начальная сумма чисел равна 18. Тогда понадобится ровно хода для достижения искомой суммы, которую можно получить путём проведения следующего алгоритма 291 раз:

в) Рассмотрим разность вида «второе число — первое число». Изначально она равна Далее возможны два варианта.
Первый вариант:

Второй вариант:

Далее, при делении на 3 имеют одинаковый остаток числа

То есть разность второго и первого чисел (именно в этом порядке) всегда даёт один и тот же остаток при делении на 3. Изначально эта разность равна и даёт остаток 1 при делении на 3.
Ответом будет 81 ход, когда из чисел (7, 11) сделаем пару чисел (49, 50) следующим образом:

Предположим, что ходов было хотя бы 82. Тогда сумма чисел равна хотя бы 100. С учётом требуемого условия это возможно, только если оба числа равны 50 и ходов было 82. Однако это невозможно, поскольку в таком случае разность чисел не дает остаток 1 при делении на 3. Противоречие.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а) и в), либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б) и в) - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в), либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а) и б), пункт в) не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а), либо получен верный обоснованные ответ в пункте б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) нет; б) 582; в) 81

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)