Задание №62405 ЕГЭ по Математике (профиль)
Пусть обозначает двузначное число, равное где и - цифры,
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры и что ?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры и если среди цифр и есть цифра 7?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение если цифры и различны и среди них есть цифры 4 и 7?
Решение:
а) Да. Действительно, поскольку
нужно подобрать такие попарно различные ненулевые цифры и чтобы Это верно, например, при и
б) Докажем, что это невозможно. Имеем Значит, если то и
Поскольку одна из цифр и равна 7, то одно из произведений или делится на 7, а значит, и другое произведение тоже должно делиться на 7. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр и есть по крайней мере две цифры 7.
в) Как показано выше, имеем Рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр и есть цифры 4 и 7.
Если цифры 4 и 7 - это и то
Если цифры 4 и 7 - это и то
Если цифра 4 - это и а цифра 7 - это или , то
Если цифра 7 - это или а цифра 4 - это или то
Значит, наибольшее возможное значение выражения равно оно достигается при и
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в, и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в)
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)