Задание №62295 ЕГЭ по Математике (профиль)
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 105 камней, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Мог ли в первой коробке оказаться 101 камень, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли во второй коробке оказаться 318 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Решение:
а) Пусть 2 раза из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказалось 103 камня, во второй - 104 камня, в третьей - 105 камней, а в четвёртой - 6 камней. Если после этого переложить камни из первой, третьей и четвёртой коробок во вторую, то в первой коробке окажется 102 камня, во второй - 107, в третьей - 104, а в четвёртой - 5. Если после этого переложить камни из первой, второй и четвёртой коробок в третью, то в первой коробке окажется 101 камень, во второй- 106, в третьей - 107, а в четвёртой - 4.
б) Если во второй коробке оказалось 318 камней, то в первой, в третьей и в четвёртой коробках не осталось камней. Пусть в какой-то момент в коробках оказалось 
и 
камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо 
и 
камня, либо 
и 
камень, либо 
и камень, либо 
и камень соответственно. Заметим, что разность между количествами камней во второй и в третьей коробках либо не изменилась, либо изменилась на 4. Сначала разность количеств камней в третьей и в первой коробках равнялась 2. Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, во второй коробке не могло оказаться 318 камней.
в) Сначала разность количеств камней в любых двух коробках не делится на 4. Следовательно, ни в какой момент в двух коробках не могло оказаться одинаковое число камней. Значит, во второй, в третьей и в четвёртой коробках не меньше 
камней суммарно, а в первой коробке не больше 315 камней.
Покажем, что в первой коробке могло оказаться 315 камней. Пусть 27 раз из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказалось 78 камней, во второй - 79, в третьей - 80, а в четвёртой - 81. Если после этого 79 раз переложить камни из второй, третьей и четвёртой коробок в первую, то в первой коробке окажется 315 камней, во второй - 0 камней, в третьей - 1 камень, а в четвёртой - 2 камня.
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в, и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 315
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)