Задание №62236 ЕГЭ по Математике (профиль)
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 109 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 330 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Решение:
а) Пусть 2 раза из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказалось 107 камней, во второй - 108 камней, в третьей - 109 камней, а в четвёртой - 6 камней. Если после этого переложить камни из первой, третьей и четвёртой коробок во вторую, то в первой коробке окажется 106 камней, во второй - 111, в третьей - 108, а в четвёртой - 5. Если после этого переложить камни из первой, второй и четвёртой коробок в третью, то в первой коробке окажется 105 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой - 4.
б) Если в четвёртой коробке оказалось 330 камней, то во второй, в третьей и в четвёртой коробках не осталось камней. Пусть в какой-то момент в коробках оказалось 
и 
камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо 
и 
камня, либо 
и 
камень, либо 
и камень, либо 
и камень соответственно. Заметим, что разность между количествами камней во второй и в третьей коробках либо не изменилась, либо изменилась на 4. Сначала разность количеств камней во второй и в третьей коробках равнялась 1. Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, в первой коробке не могло оказаться 330 камней.
в) Сначала разность количеств камней в любых двух коробках не делится на 4. Следовательно, ни в какой момент в двух коробках не могло оказаться одинаковое число камней. Значит, во второй, в третьей и в четвёртой коробках не меньше 
камней суммарно, а в первой коробке не больше 327 камней.
Покажем, что в первой коробке могло оказаться 327 камней. Пусть 28 раз из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказался 81 камень, во второй - 82, в третьей - 83, а в четвёртой - 84. Если после этого 82 раза переложить камни из второй, третьей и четвёртой коробок в первую, то в первой коробке окажется 327 камней, во второй - 0 камней, в третьей - 1 камень, а в четвёртой - 2 камня.
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в, и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 327
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)