Задание №62094 ЕГЭ по Математике (профиль)
Сумма цифр трёхзначного числа равна
а) Может ли произведение быть равно 1435?
б) Может ли произведение быть равно 1436?
в) Найдите наименьшее значение произведения если известно, что оно больше 1918.
Решение:
а) Сумма цифр числа 205 равна 7. Таким образом, произведение этого числа и суммы его цифр равно 1435.
б) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, как и само число. Следовательно, если число делится на 3, то
делится на 3. Если число
не делится на 3, то
даёт остаток 1 при делении на 3. Число 1436 даёт остаток 2 при делении на 3, значит, оно не может быть равно произведению
в) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 9, как и само число. Следовательно, даёт такой же остаток при делении на 9, как и
Пусть
где
Тогда
то есть остаток от деления на 9 совпадает с остатком от деления
на 9. Этот остаток может быть равен
или 7, поскольку
принимает
значения Таким образом, остаток от деления произведения
на 9 может быть равен
или 7.
Будем последовательно рассматривать числа, бо́льшие 1918, для которых остаток от деления на 9 равен или 7.
Число 1921 даёт остаток 4 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число только следующим способом:
В этом случае первый множитель не равен сумме цифр второго множителя. Число 1924 даёт остаток 7 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:
Сумма цифр трёхзначного числа равна 13. Следовательно, для этого числа
Таким образом, наименьшее значение произведения большее 1918, равно 1924.
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в, и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 1924
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)