Задание №589 ЕГЭ по Математике (профиль)
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
Решение:
а) Пусть на доске написаны числа 2009, 11 и 2. Тогда их сумма равна 2022.
б) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, как само число. Следовательно, все написанные на доске числа имеют одинаковый остаток при делении на 3, и их сумма делится на 3. Значит, эта сумма не может быть равна 2021.
в) Заметим, что сумма цифр любого трёхзначного числа не превосходит 27, а сумма цифр числа, не превосходящего 27, может быть равна 2 только для чисел 2, 11 и 20. Следовательно, второе число равно 11 или 20, а нам требуется найти количество трёхзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 11 или 20. Найдём количество трёхзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 11. Если первая цифра числа равна 1, то таких чисел девять: 119, 128, 137, ...,191. Если первая цифра числа равна 2, то таких чисел десять: 209, 218, 227, ...,290. Если первая цифра числа равна 3, то таких чисел девять: 308, 317, 326, ...380. Рассуждая аналогично, получаем, что если первая цифра числа равна 4, 5,..., 9, то таких чисел 8, 7, ..., 3 соответственно. Таким образом, количество трёхзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 11, равно 9 + 10 + 9 + 8 + ... + 3 = 61.
Найдём количество трёхзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 20. Если первая цифра числа равна 1, то таких чисел нет. Если первая цифра числа равна 2, то такое число одно: 299. Если первая цифра числа равна 3, то таких чисел два: 389, 398. Рассуждая аналогично, получаем, что если первая цифра числа равна 4, 5, ..., 9, то таких чисел 3, 4, ..., 8 соответственно. Таким образом, количество трёхзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 20, равно 1 + 2 + 3 ... + 8 = 36. Следовательно, искомое количество троек равно 61 + 36 = 97.
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 97
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)