Задание №38444 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Уравнение равносильно совокупности


Корни уравнения (1) - числа

Решим уравнение (2). Оно линейное.
При  уравнение (2) примет вид

Следовательно, совокупность, а значит и исходное уравнение, может иметь максимум два корня - это  и  Для того, чтобы оба этих числа являлись решениями совокупности, нужно, чтобы они удовлетворяли неравенству (1’), которое имеет вид  То есть они ему удовлетворяют. Следовательно,  нам подходит и является первой частью ответа.
Пусть  Не будем это повторять каждый раз в наших дальнейших рассуждениях, просто в итоговых значениях  это учтем.
Уравнение (2) имеет единственный корень

Получаем, что числа  и  - «потенциальные» решения совокупности, а значит, и исходного уравнения. При этом  и  - решения, если они удовлетворяют (1’), - решение, если удовлетворяет (2’).
Определим  при которых каждое из чисел  удовлетворяет «своему» неравенству. Будем такое число называть хорошим. В противном случае будем называть число плохим. То есть определим  при которых каждое число является хорошим или плохим.
Число  - хорошее, если выполнено неравенство


Значит,  - плохое, если

Число  - хорошее, если


Значит,  - плохое, если

Число  - хорошее, если


Значит,  - плохое, если

В таком случае, если числа различны, то нам подходит ситуация, когда из трех чисел ровно два хороших, а третье плохое.
Рассмотрим отдельно случаи, когда какие-то два числа совпадают. При этом все три совпасть не могут, так как 
1) Пусть:

Тогда  - хорошие, - плохое. Следовательно, этот случай нам не подходит.
2) Пусть:

Тогда  - хорошие и - хорошее. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня, значит, - вторая часть ответа.
Далее пусть все три числа различны, то есть

Составим для удобства табличку:

	Хорошее	Плохое
	или

1) Ситуация «хорошее, хорошее, плохое»:

2) Ситуация «хорошее, плохое, хорошее»:

3) Ситуация «плохое, хорошее, хорошее»:

Следовательно, третья часть ответа:

Объединив все подходящие значения параметра, получаем окончательно

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Сборник И.В. Ященко