Задание №37809 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Рассмотрим две функции:


График  - парабола, вершина которой находится в точке  График  - уголок (при ), вершина которого находится в точке  левая ветвь задается уравнением   правая ветвь задается уравнением gright=ax-6, x≥6, или прямая y=0 (при a=0). При a<0 ветви уголка направлены вниз, при a>0 - вверх. Так как график fx находится в верхней полуплоскости, при a≤0 графики f и g не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не подходит.
Пусть a>0. В силу того, что график параболы симметричен относительно прямой x=5, а график уголка - относительно прямой x=6, при изменении a от 0 до +∞ сначала уголок левой ветвью коснется параболы, затем левая ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой, затем правая ветвь уголка коснется параболы (а левая будет иметь две точки пересечения с параболой), и затем уже и правая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с параболой.
Следовательно, в теории нам могут подойти две ситуации: когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, причем абсциссы обеих точек положительны, а правая не имеет общих точек с параболой; когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, абсцисса одной из них положительна, а второй - неположительна, а правая ветвь касается параболы.

1) Проверим, возможна ли первая ситуация.

Определим а, при которых левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой. Тогда следующее квадратное уравнение должно иметь два решения при 

Следовательно, его дискриминант

Абсцисса одной из точек всегда положительна, следовательно, обе абциссы положительны, если произведение корней этого квадратного уравнения положительно:

Теперь осталось проверить, имеет ли правая ветвь точки пересечения с параболой. Для этого найдем a при котором правая ветвь касается параболы (нам в любом случае это значение пригодится для проверки второй ситуации):

Корни первого уравнения  Нам подходит  так как именно при нем мы получаем положительный  Следовательно, при  правая ветвь не имеет общих точек с параболой, при  - касается параболы, при  - имеет две общие точки с параболой.
Значит, наша ситуация задается следующими a:

Это первая часть ответа.

2) Проверим, возможна ли вторая ситуация.

Абсцисса одной из точек пересечения левой ветви с параболой положительна, а второй - неположительна, при  Правая ветвь касается параболы при  Следовательно,

Это вторая часть ответа.

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Источник: Сборник И.В. Ященко