Задание №62463 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а)  Пусть прямые BC и AM пересекаются в точке E, прямые AM и DN пересекаются в точке H, прямые BM и AD пересекаются в точке F. Отрезок AH  — биссектриса и высота треугольника AND, следовательно, AN  =  AD. Отсюда треугольник ANM равен треугольнику ADM, следовательно, NM  =  MD  =  CM. Треугольник CND  — прямоугольный, причем угол CND равен 90°. Тогда прямые NC и AM параллельны, ACED  — параллелограмм, следовательно, CE  =  AD  =  AN. Из того, что прямые CN и AM параллельны, следует, что AN : NB  =  CE : BC, тогда CE  =  AD  =  7BC  =  7BN. Аналогично, BCFD  — параллелограмм, BC  =  DF. Тогда AN : NB  =  AD : DF  =  7 : 1, тогда прямые DN и BF параллельны, следовательно, прямые CN и BM перпендикулярны.

б)  Пусть AD  =  7x, тогда BC  =  x, AB  =  CD  =  8x, NM  =  4x. Если h  — высота трапеции, тогда:



Выразим площадь трапеции ABCD:
отсюда x  =  1. Тогда

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 4

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)