- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62462
Задание №62462 ЕГЭ по Математике (профиль)
Дан равносторонний треугольник AВС. На стороне АС выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает сторону АВ в точке Е, а сторону ВС в точке К.
а) Докажите, что угол АЕМ равен углу СМК.
б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМК, если 
Решение:
а) Угол ABC равен 60°. Из симметрии относительно EK получаем, что угол EMK равен 60°. Пусть угол AEM равен α. Тогда 
Выразим угол CMK:
б) Пусть AM = x, CM = 4x, AE = y, тогда AB = 5x, EM = EB = 5x − y. По теореме косинусов:
Треугольники AEM и CMK подобны по двум углам, причем AE и CM — соответственные стороны. Имеем:
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)