Задание №62460 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть прямая из условия пересекает AD в точке E, а BC — в точке F; пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту BH на AD.
Заметим, что AO = OC. Тогда
Так как  а BO = OD, то N — середина BO.
Запишем теорему Менелая для треугольника AOD и прямой NE:


По теореме Фалеса для угла BDH и параллельных прямых NE и BH (обе эти прямые перпендикулярны AD)

Таким образом, EH в два раза меньше EA. Значит, AH = EH. Значит, AD = 5EH.
Четырехугольник HBFE — прямоугольник. Тогда BF = HE, следовательно,


б) Заметим, что

Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

Прямоугольные треугольники AOD и NED подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда

Значит, так как то по формуле косинуса двойного угла

Тогда
Значит,
Пусть AB = x. Тогда по теореме косинусов для треугольника ABD: 






Таким образом, сторона ромба равна 6.

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 6

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)