- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62457
Задание №62457 ЕГЭ по Математике (профиль)
Прямая, перпендикулярная стороне AD ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD в точке N, причём 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь ромба, если MN = 5.
Решение:
а) Пусть прямая из условия пересекает AD в точке E, а BC — в точке F; пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту BH на AD.
Заметим, что AO = OC. Тогда 
Так как 
а BO = OD, то N — середина BO.
Запишем теорему Менелая для треугольника AOD и прямой NE:
По теореме Фалеса для угла BDH и параллельных прямых NE и BH (обе эти прямые перпендикулярны AD)
Таким образом, EH в два раза меньше EA. Значит, AD = 5AH. Но в ромбе AB = AD, тогда
б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому
Прямоугольные треугольники AOD и NED подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда
Значит, так как 
то по формуле двойного угла
Тогда
Значит,
Мы знаем, что BD = 4NO, AC=6MO. Тогда
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)