Задание №63432 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а)  Поскольку основания трапеции  и параллельны, а её высота то а значит, вписанный угол равны опирается на диаметр на который опирается и вписанный угол Поэтому
б)  Вписанные углы и опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике катет лежит напротив угла а значит, равен половине гипотенузы то есть а катет

В треугольниках и угол общий, а углы и прямые, и, значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, то есть а значит, 
Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота делит большее основание на отрезки и Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим откуда

Тогда поэтому то есть

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)