- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62936
Задание №62936 ЕГЭ по Математике (профиль)
Тема : Многоугольники и их свойства
Раздел: Планиметрия второй части
На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.
а) Докажите, что 
б) Прямые AC и BD пересекаются в точке T найдите отношение 
если 
Решение:
a) Углы BCA и BDA прямые, значит, точки C и D лежат на окружности с диаметром AB.
Биссектриса AC вписанного угла BAD делит дугу BCD пополам, значит, хорды BC и CD, стягивающие равные дуги, равны. Отсюда с учетом теоремы Пифагора для треугольников ABC и ABD:
б) Пусть 
тогда из прямоугольного треугольника ABC:
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, тогда
В прямоугольных треугольниках ABC, ABD и ATD:
Тогда искомое отношение равно
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)