Задание №62461 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Так как AO — биссектриса угла BAD, то По условию AM = MO, значит, треугольник AMO — равнобедренный. Тогда Таким образом,
Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми MO и AD и секущей AO равны. Значит,

Так как CO — биссектриса угла BCD, то По условию CN = NO, значит, треугольник CNO — равнобедренный. Тогда Таким образом,
Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми NO и BC и секущей CO, равны. Значит,
Тогда, так как ABCD — трапеция, то Поскольку эти прямые проходят через точку O, то точки M, N и O лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что


Опустим из точки O перпендикуляры OP и OQ на прямые AD и BC соответственно. Тогда Значит,

Тогда прямоугольные треугольники AOP и OCQ равны по гипотенузе и острому углу, так как AO = CO и Тогда AP = OQ, OP = CQ.
По пункту а) имеем  и Тогда по теореме Фалеса для прямых AB и PQ и секущих BQ, MO и AP:

Найдем величину

Пусть CH — высота трапеции. Тогда

Пусть Так как трапеция ABCD — равнобедренная, то


Заметим, что PQCH — прямоугольник, тогда PH = CQ. Значит, получаем

Тогда имеем:

Следовательно,


Так как угол — острый, то получаем искомое отношение:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)