Задание №15926 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Числа 11 и 12 не могут быть написаны, так как 12 делится на 1 = 12 − 11.

б) Предположим, что среди 18 записанных на доске чисел, удовлетворяющих условию задачи, есть число 15. Существует всего 15 разных остатков от деления на 15. Поэтому среди записанных 18 чисел найдутся по крайней мере два числа с одинаковыми остатками при делении на 15. Тогда разность этих двух чисел будет иметь остаток 0 при делении на 15,
то есть эта разность делится на записанное на доске число 15. Но это противоречит условию. Значит, N не может быть равным 18 в этом случае.

в) Предположим, что  Если на доске есть число  то по крайней мере два из написанных на доске чисел дают одинаковый остаток при делении на a. Тогда их разность делится на a. Значит, каждое из чисел, записанных на доске, больше 11. Среди любых  различных чисел от 12 до 33 найдётся два идущих подряд. Разность этих чисел равна 1, и на неё делится любое число, написанное на доске. Это противоречит условию. Следовательно, 
Покажем, что N может быть равным 11. Последовательность одиннадцати нечётных чисел 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33 удовлетворяет условию задачи. В самом деле, разность любых двух из этих чисел чётная, значит, ни одно из этих чисел не делится на неё. С другой стороны, каждая из таких разностей не превосходит 33 − 13 = 20. Следовательно, любой нечётный делитель такой разности не превосходит 9.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) 11

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)