Задание №231 ЕГЭ по Математике (профиль)
Две окружности касаются внешним образом в точке 
Прямая 
касается первой окружности в точке 
а второй – в точке 
Прямая 
пересекает первую окружность в точке 
прямая 
пересекает вторую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника 
если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение:
а) Пусть 
и 
центры окружностей.
Проведём общую касательную KM (M - точка пересечения AB и KM).
По свойству касательных, проведённых из одной точки: 
Рассмотрим 
- прямоугольный
Рассмотрим 
и 
- прямоугольные 
AD и BC - диаметры.
Из этого следует, что 
б) 
(диаметр)
(диаметр)
и 
подобны, следовательно 
Из этого следует, что 
У 
и 
есть общая высота, следовательно 
ABCD - трапеция, следовательно 
Проведём высоту 
Тогда по теореме Пифагора 
Тогда 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 3,2
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)