Задание №231 ЕГЭ по Математике (профиль)
Две окружности касаются внешним образом в точке Прямая
касается первой окружности в точке
а второй – в точке
Прямая
пересекает первую окружность в точке
прямая
пересекает вторую окружность в точке
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение:
а) Пусть и
центры окружностей.
Проведём общую касательную KM (M - точка пересечения AB и KM).
По свойству касательных, проведённых из одной точки:
Рассмотрим - прямоугольный
Рассмотрим и
- прямоугольные
AD и BC - диаметры.
Из этого следует, что
б) (диаметр)
(диаметр)
и
подобны, следовательно
Из этого следует, что
У и
есть общая высота, следовательно
ABCD - трапеция, следовательно
Проведём высоту
Тогда по теореме Пифагора
Тогда
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 3,2
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)