- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 47765
Задание №47765 ЕГЭ по Математике (профиль)
Существует такой треугольник MNK, что и вокруг него описана окружность, и в него вписана окружность, но уже с центром в точке Q. Прямая NQ второй раз пересекает окружность в точке R.
а) Приведите доказательства того, что стороны 
б) Вычислите площадь треугольника MRK, если известно что радиус описанной окружности равен 12, а 
Решение:
а) NQ и KQ являются биссектрисами соответствующих углов треугольника MNK, так как точка Q является центром вписанной окружности. Рассмотрим треугольник NQK: угол RQK является его внешним углом: 
Так как 
опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника MNK, то они равны. Откуда: 
Таким образом, и треугольник RQK является равнобедренным. Значит, 
б) Заметим, что хорды MR и KR стягивают равные дуги окружности, следовательно: 
Таким образом, 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: NeoFamily