- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 47650
Задание №47650 ЕГЭ по Математике (профиль)
Существует такой треугольник MNK, через точки F и V лежащие на стороне MK проходит окружность, причем 
Эта же окружность касается сторон MN и NK в точках E и H соответственно.
а) Приведите доказательства того, что 
и 
равны.
б) Каким будет радиус окружности, если известно, что 
а центр окружности лежит на высоте к стороне NK?
Решение:
а) Для дальнейших вычислений представим равные отрезки как 
Далее, используя теорему о секущей и касательной, можно сказать, что 
тогда 
Далее, так как точка N лежит вне окружности и из нее проведены к этой же окружности две касательные, то они равны: 
Значит, 
и треугольник MNK – равнобедренный, откуда следует, что необходимые углы равны.
б) Учитывая свойства касательных и секущих к окружности: 
Теперь рассмотрим треугольник MKH: 
Далее уже снова учитывая секущие: 
где r - искомый радиус. 
откуда 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: NeoFamily