- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 47644
Задание №47644 ЕГЭ по Математике (профиль)
В треугольнике MNK угол K является прямым. KH – высота. Точки F и E на катетах MK и NK выбраны так, что четырёхугольник KFHE оказался вписанным в окружность. 
а) Приведите доказательства того, что отрезки EH и NK пропорциональны.
б) Найдите NE, если 
Решение:
а) Для начала рассмотрим данные условия: FHEK является вписанным в окружность. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника (
и 
) равна 
следовательно, 
так как опираются на одну и ту же дугу окружности. Заметим, что в треугольниках HNK и MNK каждый из них равен 
следовательно, 
Из всего этого следует, что треугольники HFE и KMN подобны по двум углам. А так как подобны треугольники, то пропорциональны и их стороны: EH и NK пропорциональны.
б) Заметим, что 
а 
Тогда треугольники KFH и NEH подобны по двум углам, а 
Следовательно, 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: NeoFamily