- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 77906
Задание №77906 ЕГЭ по Математике (профиль)
В пирамиде 
с высотой 
основанием является квадрат 
точка 
- середина ребра 
Прямая 
пересекается с плоскостью 
в точке 
а) Докажите, что прямая 
проходящая через точку 
параллельно прямой 
делит ребро 
в отношении 1:2.
б) Найдите угол между прямыми 
и 
если 
Решение:
а) Доп построение: Построим плоскость (
). 
параллельна 
(которая принадлежит плоскости (
)). Из точки 
проведем прямую параллельную и соответственно 
получим 
() пересекает () по прямой параллельной 
является средней линией треугольника (так как 
- середина, а 
) 
Соединим прямую 
и получим, что пересекает 
в точке 
Рассмотрим два треугольника 
и 
Они подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и ). Из подобия получаем:
а так как 
и 
(так как основание пирамиды квадрат), то 
Получаем:
то есть 
делит медиану () треугольника 
в отношении 2 к 1 считая от 
Таким образом - точка пересечения медиан ( и ) и медиана 
(проходящая через точку ) тоже делится точкой в отношении 2 к 1 считая от 
Прямая 
пересекает 
в точке 
Тогда по теореме Фалеса: 
Ч. т. д.
б) Угол между прямыми и 
равен углу между прямыми и 
(обозначим его через 
).
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
: По теореме Пифагора 
И в треугольнике 
по теореме Пифагора: 
Рассмотрим треугольники 
и 
(подобны по двум углам). Так как 
то 
Рассмотрим треугольник 
по теоереме Пифагора: 
Рассмотрим треугольник 
По теореме Пифагора: 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
тогда по теореме Пифагора: 
Рассмотрим треугольник 
По теореме косинусов:
Угол между прямыми берём острый:
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко