Задание №38566 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Рассмотрим треугольник SAB, в котором по условию задания:    Можно заметить, что

и согласно обратной теореме Пифагора треугольник SAB - прямоугольный, с гипотенузой SB и катетами SA и AB.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами:    (так как в основании пирамиды лежит четырехугольник, поэтому ). Здесь также: и по обратной теореме Пифагора имеем прямоугольный треугольник SAD с гипотенузой SD и катетами SA и AD.
Так как  то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  и - высота пирамиды.

б) Так как ABCD - прямоугольник, то точка O лежит на пересечении его диагоналей и делит их пополам, то есть, O-середина отрезка BD. Сделаем построение - отрезок KO как средняя линия треугольника SAC, причем,  Тогда угол между SC и BD удет также равен углу KOD.
Найдем косинус угла SOD из треугольника KOD. В соответствии с теоремой косинусов, имеем: Рассмотрим прямоугольный треугольник SDC (прямоугольный, так как  и  - по теореме о трех перпендикулярах получаем, что ). По теореме Пифагора:
Тогда  Далее, диагональ
Следовательно,  Точка K - середина SA, имеем: и
Получаем косинус угла: и

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко