Задание №38303 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Прямая - это прямая  Построим рисунок по условию задачи:

 (диагонали квадрата), (по условию) (по обратной теореме о 3-х перпендикулярах: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной  то она перпендикулярна и проекции наклонной ).
Призма правильная четырёхугольная, значит в основании лежит квадрат со сторонами 2.
Найдём по теореме Пифагора в диагональ основания


Точка пересечения диагоналей квадрата делит их пополам:

Построим прямоугольное сечение

В прямоугольном  по теореме Пифагора:

В прямоугольном  из двух формул для нахождения площади треугольника найдем высоту 





В прямоугольном по теореме Пифагора:

В прямоугольном найдём тангенс

В прямоугольном через тангенс  найдём 



Найдем 

Найдём искомое отношение


Что и требовалось доказать.

б) Прямая  поэтому искомый угол равен 

будем искать в  найдем стороны треугольника.
Из прямоугольного  по теореме Пифагора:


Из прямоугольного  по теореме Пифагора:

Построим квадратное сечение 

Диагональ  квадрата является биссектрисой, По теореме косинусов для найдем 




По теореме косинусов для  найдем искомый 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко