Задание №61376 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Заметим, что если то а тогда Итак, если в последовательности каждое число, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних чисел, то последовательность разностей соседних членов убывает  — это необходимое и достаточное условие.
а)  Если разность второго и первого членов отрицательна, то и все остальные разности тоже отрицательны. Тогда каждый следующий член меньше предыдущего и потому они все отрицательны. Поэтому последний член не может быть равен нулю.
б)  Поскольку имеем:
 откуда и не может равняться 20.
в)  Приведем пример последовательности {a_n}, для которой   — меньше быть не может по доказанному в предыдущем пункте. В ней:  и для всех n таких, что член a_n равен сумме первых (n-1)-го члена последовательности 39, 38, 37, ..., −39, то есть последовательность имеет вид 0, 39, 77, 114, ... Тогда условие задачи выполнено: последовательность разностей соседних членов выбрана нами убывающей.

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в), и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б). ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в) -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) 39

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)