Задание №61103 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть в день с номером k записано k чисел 3 и чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна Таким образом, n может быть равным 7. 
б) Пусть n = 4, в первый день на доску записали число 1 и 32 числа 2, во второй день — 12 чисел 4 и 20 чисел 5, в третий день — 6 чисел 4 и 25 чисел 5, а в четвёртый день — 30 чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 65, во второй — 148, в третий — 149, а в четвёртый — 150. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно  а среднее арифметическое всех записанных чисел равно 
в) Заметим, что в первый день на доску было записано не более 5 чисел. Значит, если то в пятый день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, равной 5. Таким образом,
Если n = 4, то в четвёртый день на доску было записано не более двух чисел, а их сумма не превосходит 10. Значит, суммы чисел, записанных в третий и второй дни, не превосходят 9 и 8 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 32.
Если n = 3, то в третий день на доску было записано не более трёх чисел, а их сумма не превосходит 15. Значит, сумма чисел, записанных во второй день, не превосходит 14, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 34.
Если n = 2, то во второй день на доску было записано не более четырёх чисел, а их сумма не превосходит 20. Значит, сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 25. 
Если n =1, то сумма всех записанных чисел равна 5. 
Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 34. Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 34. Пусть n = 3, и в первый день были записаны числа 1, 1, 1, 1, 1; во второй — 3, 3, 4, 4; в третий — 5, 5, 5. Тогда суммы записанных за эти дни чисел соответственно равны 5, 14 и 15, то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а их сумма равна 34.

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты - 4 балла
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов - 3 балла
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов - 2 балла
Верно получен один из следующих результатов: 
— обоснованное решение пункта а; 
— обоснованное решение пункта б; 
— искомая оценка в пункте в; 
— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) да; в) 34

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)