Задание №60479 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть в день с номером k записано k чисел 3 и чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна Таким образом, n может быть равным 6.
б) Пусть n = 4, в первый день на доску записали число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день — двенадцать чисел 4, в третий день — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день — десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй — 48, в третий — 49, а в четвёртый — 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно  а среднее арифметическое всех записанных чисел равно 
в) Заметим, что в первый день на доску было записано не более 6 чисел. Значит, если n > 5 , то в шестой день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, равной 6. Таким образом, n ≤ 5. 
Если n = 5, то в пятый день на доску было записано не более двух чисел, а их сумма не превосходит 10. Значит, суммы чисел, записанных в четвёртый, третий и второй дни, не превосходят 9, 8 и 7 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 40.
Если n = 4, то в четвёртый день на доску было записано не более трёх чисел, а их сумма не превосходит 15. Значит, суммы чисел, записанных в третий и второй дни, не превосходят 14 и 13 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 48. 
Если n = 3 , то в третий день на доску было записано не более четырёх чисел, а их сумма не превосходит 20. Значит, сумма чисел, записанных во второй день, не превосходит 19, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 45. 
Если n = 2, то во второй день на доску было записано не более пяти чисел, а их сумма не превосходит 25. Значит, сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 31.
Если n = 1, то сумма всех записанных чисел равна 6. Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 48. Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 48. Пусть n = 4, и в первый день были записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1; во второй — 2, 2, 3, 3, 3; в третий — 3, 3, 4, 4; в четвёртый — 5, 5, 5. Тогда суммы записанных в эти дни чисел соответственно равны 6, 13, 14 и 15, то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а их сумма равна 48. 

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты - 4 балла
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов - 3 балла
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов - 2 балла
Верно получен один из следующих результатов: 
— обоснованное решение пункта а; 
— обоснованное решение пункта б; 
— искомая оценка в пункте в; 
— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) да; в) 48

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)