- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 63096
Задание №63096 ЕГЭ по Математике (профиль)
В течение 
дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли 
быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел за эти дни?
Решение:
а) Да. Например в первый день выписано 20 единиц, а в каждый следующий день выписывают на две единицы меньше, зато добавляют тройку. Тогда количество чисел каждый день на 1 меньше, а сумма - на 1 больше, чем в предыдущий.
б) Да. Если в первый день выписали одну двойку и 10 троек (среднее 
), во второй день 6 четверок и 4 пятерки (среднее 4,4), а в третий день 9
пятерок (среднее 5), то все условия выполнены, причем среднее первого дня меньше 3, а среднее за все дни 
в) Ясно, что в первый день записано не более 6 чисел. Тогда:
- во второй день не более пяти чисел с суммой не менее 7;
- в третий день не более четырех чисел с суммой не менее 8;
- в четвертый день не более трех чисел с суммой не менее 9;
- в пятый день не более двух чисел с суммой не менее 10.
Уже это возможно единственным образом - две пятерки. Значит, если в пятый день что-то вообще писали, то общая сумма составит 
Если числа писали лишь четыре дня, то в четвертый день было не более трех чисел, а их сумма была не более 15, поэтому общая сумма не превосходит 
Если числа писали лишь три дня, то в третий день было не более четырех чисел, а их сумма была не более 20, поэтому общая сумма не превосходит 
Если числа писали лишь два дня, то во второй день было не более пяти чисел, а их сумма была не более 25, поэтому общая сумма не превосходит 
Итак, ответ точно не больше 48.
Осталось привести соответствующий пример:
- первый день: 
- второй день: 
- третий день: 
- четвертый день: 
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. - 4 балла
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов - 3 балла
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. - 2 балла
Верно получен один из следующих результатов:
- обоснованное решение в п. а;
- пример в п. б;
- искомая оценка в п. в;
- пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да, б) да, в) 48
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)