- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 63435
Задание №63435 ЕГЭ по Математике (профиль)
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 420?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 419?
в) В тройке чисел первое число трѐхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
Решение:
а) Да, например, для числа 398 получим 
б) Нет. Число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3, поэтому сумма трех таких чисел всегда кратна 3, число 419 трем не кратно.
в) Поскольку число трехзначное, его сумма цифр не превосходит 27, значит, она должна быть равна 14 или 23. Переформулируем: подходят все трехзначные числа с остатком 5 при делении на 9, кроме тех, у которых сумма цифр 5.
Эти числа равны 
То есть всего имеется 
трехзначных чисел с нужным остатком от деления на 9. Осталось выкинуть числа с суммой цифр 5.
Из цифр 
можно составить одно такое трёхзначное число.
Из цифр 
можно составить четыре таких трёхзначных числа.
Из цифр 
можно составить четыре таких трёхзначных числа.
Из цифр 
можно составить три таких числа.
Из цифр 
можно составить три таких числа.
Других наборов с суммой 5 нет. Итого: 
чисел.
Другое решение пункта б:
б) Представим первое число в следующем виде: 
Тогда второе число 
отсюда 
Третье число 
Запишем сумму всех трех чисел:
Заменим 
на 
Заметим, что 102, 12, 3 и −9 делятся на три, значит, вся сумма делится на 3.
Другое решение пункта в:
в) Если последнее число равно 5, то сумма цифр второго числа равна 5. Так как первое число трехзначное, его максимальная сумма цифр равна 27, значит, второе число либо 14, либо 23. Переберем все возможные варианты.
1 случай. Если 
то 
Если 
то 
(все пары 
) - 6 вариантов. Дальше количество вариантов будет увеличиваться на 1:
Если 
то 
- 7 вариантов: 
Если 
то 
- 8 вариантов: 
Если 
то 
- 9 вариантов.
Если 
то 
- 10 вариантов. Дальше количество вариантов будет уменьшаться, т. к. 
Если 
то 
- 9 вариантов.
Если 
то 
- 8 вариантов.
Если 
то 
- 7 вариантов.
Если 
то 
- 6 вариантов.
Всего будет 
вариантов.
2 случай. Если 
то 
Если то 
(все пары 
) — 5 вариантов.
Если 
то 
- 4 варианта.
Если 
то 
- 3 варианта.
Если 
то 
- 2 варианта.
Если 
то 
- 1 вариант.
Если 
то 
- нет вариантов.
Всего будет 
вариантов.
Итого: 
вариантов.
Обоснованно получен верный ответ а пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ только в пункте а) или только в пункте б) и при этом обоснованно получен верный ответ в пункте в) - 3 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) и в пункте б) ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в) - 2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или в пункте б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 85
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)