Задание №38586 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Рассмотрим две функции:


График  - парабола, вершина которой находится в точке  График  - уголок (при ), вершина которого находится в точке  левая ветвь задается уравнением   правая ветвь задается уравнением  или прямая  (при ). При  ветви уголка направлены вниз, при  - вверх. Так как график  находится в верхней полуплоскости, то при  графики  и  не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не подходит.
Пусть  Так как график параболы симметричен относительно прямой  а график уголка - относительно прямой  то при изменении a от 0 до  сначала уголок правой ветвью коснется параболы, а затем правая ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой. Далее левая ветвь уголка коснется параболы (а правая будет иметь две точки пересечения с параболой) и затем уже и левая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с параболой.
Следовательно, для начала рассмотрим случай, когда уголок и парабола имеют три общие точки: левая ветвь уголка касается параболы. Если абсцисса точки касания будет положительной, то этот случай нам подходит.
Запишем условия касания  и 

Корнями первого уравнения являются  Нам подходит  так как именно при нем мы получаем положительный  Заметим, что абсцисса точки касания  следовательно, как говорилось выше, этот случай нам подходит.
Пусть  Тогда левая ветвь пересекает параболу в двух точках, одна из которых имеет положительную абсциссу. Следовательно, необходимо, чтобы абсцисса второй точки была неположительной. Тогда произведение абсцисс этих точек должно быть неположительно. Запишем уравнение, из которого могут быть найдены абсциссы точек пересечения левой ветви уголка и параболы:

Произведение корней должно быть неположительно, значит,

Пересечем полученные значения с  Для этого сравним числа:



Следовательно,  Значит, после пересечения получаем 
Тогда исходное уравнение имеет ровно три положительных корня при 

Ответ: 

Источник: Сборник И.В. Ященко