- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 63173
Задание №63173 ЕГЭ по Математике (профиль)
В течение 
дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли 
быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Решение:
а) Да. Например в первый день выписано 20 единиц, а в каждый следующий день выписывают на две единицы меньше, зато добавляют тройку. Тогда количество чисел каждый день на 1 меньше, а сумма - на 1 больше, чем в предыдущий.
б) Да. Приведем пример:
| Номер дня | Количество чисел | Сумма чисел |
| 1 | 200 |  |
| 2 | 199 |  |
| 3 | 198 |  |
| 4 | 197 |  |
в) Сумма принимает наибольшее при 
Если количество не менее двух, то число чисел в первый день меняется от 2 до 5. Сумма в первый день равна 5, тогда сумма в последний день превысит 5. Тогда количество чисел в последний день - от 2 до 4. Если количество чисел в последний день меняется от 2, то тогда количество чисел в первый день меняется от 3. Имеем по количеству чисел в день:
| Номер дня | 1 вариант | 2 вариант | 3 вариант | 4 вариант | 5 вариант | 6 вариант |
| 1 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 4 |
| 3 | 2 | 3 | 3 | |||
| 4 | 2 |
Вариант 1, 2 и 4 не подходят - они равнозначны. Имеют одну и ту же сумму - 15.
Сравним 3 вариант и 6.
Для третьего варианта: максимальная сумма в первый день это 5. А в третий день это 10.
Для шестого варианта:
1 день: 1 1 1 1
2 день: 2 2 2 2
3 день: 3 3 3
4 день: 5 5
Таким образом, сумма равна 32.
Для 5 варианта:
1 день: 1 1 1 1 1
2 день: 3 4 3 4
3 день: 5 5 5
Таким образом, сумма равна 34.
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. - 4 балла
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов - 3 балла
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. - 2 балла
Верно получен один из следующих результатов:
- обоснованное решение в п. а;
- пример в п. б;
- искомая оценка в п. в;
- пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) да; в) 34
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)