- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 59508
Задание №59508 ЕГЭ по Математике (профиль)
На доске написаны десять различных натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: среднее арифметическое шести наименьших из
них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих десяти чисел равняться 11?
в) Каково наибольшее возможное значение среднего арифметического всех этих десяти чисел при данных условиях?
Решение:
а) Наименьшее число не может равняться 3, так как в противном случае сумма шести наименьших чисел будет не меньше 
а их среднее арифметическое — не меньше 
что противоречит условию.
б) Пусть 
написанные на доске числа, расположенные в порядке возрастания. Тогда из условия вытекают равенства
Если среднее арифметическое всех чисел равно 11, то
откуда
что невозможно, так как 
и 
в) Покажем, что 
Действительно, если 
то
но тогда 
(так как иначе 
) и поэтому 
- противоречие.
Таким образом, получаем
а значит, среднее арифметическое всех 10 чисел не превосходит значения 10,5.
Это значение реализуется: все условия задачи выполнены для чисел 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 21, 22, 23, а их среднее арифметическое равно как раз 10,5.
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты – 4 балла
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов – 3 балла
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов – 2 балла
Верно получен один из следующих результатов:
– обоснованное решение пункта а;
– обоснованное решение пункта б;
– искомая оценка в пункте в;
– пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов
Ответ: а) нет; б) нет; в) 10,5
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)