- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62151
Задание №62151 ЕГЭ по Математике (профиль)
На доске написаны числа 
За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательности в 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Решение:
а) Максимальная разрешенная сумма представима, например, в следующем виде:
Сумму 33 можно получить, например, прибавлением к первому слагаемому единицы и уменьшению двух других слагаемых на 1.
| Тройка чисел | Слагаемые | Сумма |
| 1 | 1+13+20 | 34 |
| 2 | 2+12+19 | 33 |
| 3 | 3+11+18 | 32 |
| 4 | 4+10+17 | 31 |
| 5 | 5+9+16 | 30 |
| 6 | 6+8+15 | 29 |
Дальше 
не получается. Таким образом, мы сумели получить даже 6 троек чисел.
б) Каждая из сумм десяти троек чисел должна быть меньше, чем 35.
С другой стороны, десять троек чисел в точности исчерпывают все записанные числа. Тогда
Получили противоречие, значит 10 троек чисел по условию задачи выбрать не удастся.
в) Благодаря результатам пунктов а) и б), можно сказать, что максимальное количество таких троек может быть равно 6, 7, 8 или 9.
Предположим, что таких троек чисел может быть 7. Тогда сумма чисел в них не превосходит максимального случая:
С другой стороны, семь троек содержат 21 число. Сумма любых 21 различных натуральных чисел от 1 до 30 не меньше, чем сумма подряд идущих 21 чисел:
Получили противоречие. Случай восьми и девяти троек проверяется аналогично и также невозможен.
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в, и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) 
б) нет; в) 6.
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)