- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62893
Задание №62893 ЕГЭ по Математике (профиль)
Есть синие и красные карточки их всего 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, на синих все числа различные, а среднее арифметическое всех равно 16. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Решение:
Пусть 
- синие карточки, 
- красные.
Имеем:
а) Пусть 
тогда 
Пусть 
- пример удовлетворяет условию
б) т.к. 
(если 
то 
)
Тогда 
Возьмем минимальный набор: 
(40 чисел), тогда 
Но 
а набор минимальный - невозможно.
в) Возьмём 11 красных, 39 синий, тогда 
Возьмём минимальнй набор синих: 
(39 чисел). 
Т.к. 936 намного больше 760, пропустим варианты 12, 13 красных. Попробуем 14 красных и 36 синих:
Минимальный набор синих: 
(36 чисел): 
Для 15 красных, 35 синих: 
Минимальный набор синих: 
(34 числа),63. 
Набор для синих: 
(35 штук). 
Набор для красных: 
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. - 4 балла
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов - 3 балла
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. - 2 балла
Верно получен один из следующих результатов:
- обоснованное решение в п. а;
- пример в п. б;
- искомая оценка в п. в;
- пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 35
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)