Задание №59211 ЕГЭ по Математике (профиль)
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение:
а) Обозначим центры окружностей 
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает 
в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и 
Треугольник 
у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично получаем, что 
Следовательно, прямые 
и 
параллельны.
б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая – радиус 1.
Треугольники 
и 
подобны, 
Пусть 
тогда 
У треугольников 
и 
общая высота, следовательно, 
т.е. 
Аналогично 
Площадь трапеции 
равна 
Вычислим площадь трапеции 
Проведём к 
перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
Тогда 
Следовательно, 
откуда 
и 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 3,2
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)