Задание №59211 ЕГЭ по Математике (профиль)
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение:
а) Обозначим центры окружностей и
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает
в точке
По свойству касательных, проведённых из одной точки,
и
Треугольник
у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол
прямой, поэтому он опирается на диаметр
Значит,
Аналогично получаем, что
Следовательно, прямые
и
параллельны.
б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая – радиус 1.
Треугольники и
подобны,
Пусть
тогда
У треугольников и
общая высота, следовательно,
т.е.
Аналогично
Площадь трапеции
равна
Вычислим площадь трапеции
Проведём к
перпендикуляр
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника
Тогда
Следовательно, откуда
и
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 3,2
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)