Задание №38518 ЕГЭ по Математике (профиль)
Точка К лежит на отрезке АВ. Прямая, проходящая через точку В, касается окружности с диаметром AK в точке N и второй раз пересекает окружность с диаметром BK в точке М. Продолжение отрезка NК пересекает окружность с диаметром BK в точке Р.
а) Докажите, что прямые АN и ВР параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKP, если 
и 
Решение:
а) 
как вписанные углы, опирающиеся на диаметры AK и BK окружностей. 
как вертикальные углы. Следовательно, 
Эти углы являются накрест лежащими при AN и BP и секущей AB. Следовательно, 
Что и требовалось доказать.
б) 
как прямоугольные по острому углу. Пусть 
Обозначим 
Тогда 
Так как произведение секущей на ее внешнюю часть - величина постоянная для окружности, то
Так как квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то
Пусть 
Тогда 
как угол между касательной и хордой, заключающих дугу, на которую опирается вписанный угол NAK. Тогда из 
Из 
имеем:
Следовательно,
Получаем систему:
как вертикальные. Рассмотрим 
По теореме синусов имеем:
Следовательно,
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)