Задание №38518 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) как вписанные углы, опирающиеся на диаметры AK и BK окружностей.  как вертикальные углы. Следовательно,  Эти углы являются накрест лежащими при AN и BP и секущей AB. Следовательно,  Что и требовалось доказать.

б) как прямоугольные по острому углу. Пусть  Обозначим  Тогда 
Так как произведение секущей на ее внешнюю часть - величина постоянная для окружности, то

Так как квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то

Пусть Тогда  как угол между касательной и хордой, заключающих дугу, на которую опирается вписанный угол NAK. Тогда из 

Из имеем:

Следовательно,


Получаем систему:

как вертикальные. Рассмотрим По теореме синусов имеем:

Следовательно,

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)