- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62934
Задание №62934 ЕГЭ по Математике (профиль)
На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка М такая, что AM = MC.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АMD лежит на диагонали параллелограмма.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АMD, если известно, что AB = 7, BC = 21, а ∠DAB = 60°.
Решение:
a) Треугольник AMC равнобедренный, следовательно, 
Прямые AD и BC параллельны, следовательно, накрест лежащие углы BCA и CAD при секущей AC равны. Получаем, что 
a значит, луч AC является биссектрисой угла MAD, на которой лежит центр вписанной в треугольник AMD окружности.
б) Обозначим AM = MC через x, тогда 
По теореме косинусов в треугольнике ABM:
то есть 
откуда 
По теореме косинусов в треугольнике CMD, в котором 
и 
Треугольник AMD и параллелограмм ABCD имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми AD и BC, и общую сторону AD, перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь SAMD треугольника AMD равна половине площади параллелограмма ABCD:
С другой стороны, площадь треугольника AMD равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус r вписанной в треугольник AMD окружности:
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ При обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)