Задание №63427 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Т – точка пересечения АС и ВD.
Обозначим: К – точка пересечения АС и ВЕ, М – точка пересечения СЕ и DT.

а) Доказать: DM = МТ.

 – как вписанные углы окружности опирающиеся на равные дуги (равны хорды стягивающие дуги).
Т.к. то 
Рассмотрим  и  в них  – вертикальные,  – совпадающие с вписанными углами. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит и третьи углы равны 
В МС является медианой и высотой, значит треугольник равнобедренный, МС медиана, тогда 
Что и требовалось доказать.
б)  Найти: 

В ВК биссектриса ( как совпадающие с вписанными опирающимися на равные дуги) и высота (), значит и медиана, треугольник равнобедренный, боковые стороны равны АВ = ВТ. 
Площадь  будем искать как половину произведения его сторон на синус угла между ними:

Прямая ЕС пересекает прямые АС и ЕD, образованные накрест лежащие углы равны (как вписанные опирающиеся на равные дуги), значит АС||ED. КЕ секущая к этим же прямым, накрест лежащие углы равны
Треугольник ВЕD – прямоугольный () вписан в окружность, значит его гипотенуза является диаметром окружности 
По теореме синусов найдём sinα:

Найдём cosα:


Найдём  ():


Из прямоугольного  найдём МТ:


Найдём DT:

Найдём ВТ = ВА:

Найдём площадь треугольника АВТ:

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ При обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)