- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 59933
Задание №59933 ЕГЭ по Математике (профиль)
В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если 
Решение:
а) Пусть 
Тогда треугольники 
и 
подобны, и прямые 
и 
параллельны. Поскольку 
По свойству описанного четырёхугольника,
тогда
Отсюда 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть P — точка касания окружности со стороной AC, O — центр окружности. Тогда прямые OK и MN перпендикулярны, прямые OP и AC перпендикулярны, прямые MN и AC параллельны. Тогда точки K, O и P лежат на одной прямой, и AMKP — прямоугольная трапеция. Пусть 
Заметим, что
откуда 
Тогда 
По теореме Пифагора
Из другой прямоугольной трапеции получаем, что
Отсюда 
тогда радиус окружности, вписанной в треугольник 
равен 3.
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 3
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)